用数学模型来拟合现实世界到底是否靠谱？
几个世纪以来，数学家和物理学家们都一直希望从概率论和统计学着手，来理解各种世界的不确定性，但他们发现金融市场始终一个很难用数学来描绘的领域。
在《谁在掷骰子》中，科普作家伊恩·斯图尔特巧妙建立起一个易于理解、充满想象力的数学框架，从概率论、统计学、贝叶斯方法和混沌理论等角度展现了不确定性在金融市场等诸多领域中的影响。
金融问题很难预测。股市组织严密，作为一个有用的商业融资源头，它为创造就业做出了贡献，但也充满了风险。在外汇市场上，交易员将美元兑换成欧元、日元、卢布或英镑，主要是为了在某笔非常大的交易中赚取比例很小的利润。专业的交易商和交易员运用他们的经验，尽量保持低风险和高利润。
但股市比赛马更复杂，现在的交易员依赖复杂的算法，这些算法是在计算机上运行的数学模型。很多交易都已经自动化：算法会在瞬间做出决定，在没有任何人工干预的情况下进行交易。
所有这些发展的动机都是希望让金融问题更容易预测，减少不确定性，从而降低风险。金融危机的发生正是因为太多的银行家认为他们已经这么做了。事实证明，他们可能还不如看看水晶球。
这并不是一个新问题。1397 年至 1494 年，在文艺复兴时期的意大利，权势滔天的美第奇家族经营着一家银行，它是整个欧洲规模最大、最受尊敬的银行。它一度使美第奇家族成为欧洲最富有的家族。1397 年，乔瓦尼·迪比奇·德·美第奇（Giovanni di Bicci de'Medici）从侄子的银行里分拆出他自己的那部分，并把它搬到了佛罗伦萨。银行不断扩张，在罗马、威尼斯和那不勒斯都设有分支机构，然后又将触角伸到了日内瓦、布鲁日、伦敦、比萨、阿维尼翁、米兰和里昂。在科西莫·德·美第奇（Cosimo de'Medici）的治下，一切似乎都很顺利，直到他 1464 年去世，他的儿子皮耶罗接管了一切。然而，美第奇家族在幕后则挥霍无度：从 1434 年到 1471 年，他们每年要花掉大约 17 000 枚金弗罗林。这相当于今天的 2000 万～ 3000 万美元。
傲慢招致报应，不可避免的崩溃始于里昂分行，这家分行有一位不诚实的经理。接着，伦敦分行向当时的统治者提供了大笔贷款，这是一个冒险的决定，因为国王和王后都有些无常，而且还有欠债不还的恶名。1478 年，伦敦分行倒闭，一共损失了 51 533 枚金弗罗林。布鲁日分行也犯了同样的错误。根据尼科洛·马基雅维利（Niccolo Machiavelli）的说法，皮耶罗试图通过举债来支撑财政，这又使得几家当地企业破产，并惹恼了许多有影响力的人物。分行接连倒闭，当美第奇家族在 1494 年失宠并丧失政治影响力时，末日已在眼前。然而，即便在那个时期，美第奇银行仍是欧洲最大的银行，但一群暴徒将佛罗伦萨的中央银行夷为平地，里昂分行也遭到了恶意收购。里昂的经理批准了太多不良贷款，于是向其他银行大量借款来掩盖这一灾难。
这一切听起来非常耳熟。20 世纪 90 年代的互联网泡沫期间，投资者们抛售他们包含巨额盈利的实体产业，拿它们和三五成群的孩子在阁楼上用计算机和调制解调器鼓捣出来的东西对赌，时任美联储主席艾伦·格林斯潘（Alan Greenspan）曾在 1996 年发表演讲，谴责这种市场属于“非理性繁荣”。但在 2000 年互联网股票暴跌前，并没有人在乎这些。到 2002 年时，市值总共损失了 5 万亿美元。
这种情况以前也发生过很多次。17 世纪的荷兰繁荣而自信，它从与远东的贸易中攫取了巨额利润。来自土耳其的稀有花卉郁金香成了一种身份的象征，其价格也不断飙升，由此爆发了“郁金香狂热”，催生出一个专业的郁金香交易所。投机客们买进存货并将其捏在手里，人为制造稀缺以推高价格。用于交易未来某天郁金香买卖的合同期货市场应运而生。到 1623 年，一株稀有的郁金香的价格超过了一幢阿姆斯特丹商人的房子。泡沫破裂后，荷兰经济倒退了 40 年。
1711 年，英国企业家们成立了一家公司，来“管理并协调大不列颠商人，在南太平洋和美洲其他地区进行贸易，同时也鼓励渔业”。英国国王授予它垄断南美贸易的权力。投机客们把它的价格推高了 10 倍，人们被冲昏了头脑，于是成立了一系列奇奇怪怪的衍生公司。其中有一份非常著名的招股说明书写道：“从事一项具有巨大优势的事业，但没人知道具体是什么。”
这又是瞎胡闹。当人们恢复理智时，市场崩溃了：普通投资者失去了毕生积蓄，而大股东和董事们早已逃离市场。最后，首位英国财政部长罗伯特·沃波尔（Robert Walpole），在最高点抛售了所有股票，将债务分拆给政府和东印度公司，才使秩序得以恢复。董事们被迫对投资者进行赔偿，但还有许多最恶劣的违法者仍逍遥法外。
当金融泡沫破裂时，当时的铸币厂厂长牛顿希望借此了解高级金融，他评论道：“我能计算恒星的运动，但算不出人类的疯狂。”过了好久，有数学头脑的学者们才开始研究市场机制，与此同时，他们甚至还开始关注起了如何做出理性的决策，或者至少是对哪些行为是理性的做出最好的估算。
01 被低估的布朗运动模型
所有阅读报纸财经版面或在网上关注股市的人，都会很快发现股票的量价会以一种不规则、不可预测的方式发生变化。图 1 显示了富时 100 指数（英国股市 100 强公司的综合价格）在 1984 年至 2014 年的变化。它看起来更像是随机漫步而非光滑曲线。
巴舍利耶发现了这种相似性，并用一种名叫布朗运动的物理过程来模拟股价的变化。1827 年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）在用显微镜观察悬浮在水中的花粉颗粒腔内的微粒时，发现这些微粒随机摇动着，但无法解释其原因。1905 年，爱因斯坦提出微粒与水分子发生碰撞。他对这一物理现象进行了数学分析，其结果使许多科学家相信物质是由原子构成的（令人惊讶的是，这个概念在 1900 年曾备受争议）。1908 年，让·佩兰（Jean Perrin）证实了爱因斯坦的解释。
图 1 1984 年至 2014 年的富时 100 指数
巴舍利耶利用布朗运动模型回答了一个有关股市的统计学问题：预期价格（统计平均值）是如何随时间变化的？具体而言，价格的概率密度是什么样的？它又是如何演变的呢？巴舍利耶给出了对未来最有可能的价格估计，以及相对于那个价格可能的波动范围。他提供了一个如今被称为科尔莫戈罗夫–查普曼方程的概率密度方程，并对其进行求解，得到了一个正态分布，该分布的方差（展形）随着时间的推移呈线性增长。我们现在知道这是扩散方程的概率密度，这种方程也叫热传导方程，因为这是它最早出现的地方。如果你在炉子上加热一个金属平底锅，把手就会变热，即使它与热源没有直接接触，因为热量是通过金属扩散的。1807 年，傅里叶给出了一个支配这一过程的“热传导方程”。同样的方程也适用于其他类型的扩散，比如一滴墨在水中的扩散。巴舍利耶证明了在布朗运动模型中，期权的价格像热量一样传播。
他还利用随机漫步开发了第二种方法。如果随机漫步的步伐越来越小，速度越来越快，就能近似成布朗运动。他指出，这个概念也会得到同样的结果。接着，他计算了“股票期权”的价格应该如何随时间变化（所谓股票期权，是在未来某个日期以固定价格买卖某种商品的合同。这些合同是可以买卖的，买卖是否合适取决于商品的实际价格走势）。通过了解当前价格的扩散方式，我们可以得到对未来实际价格的最佳估计。
这篇论文反响平平，可能是因为它的应用领域不太常见，但它通过了，并被发表在一份质量很高的科学杂志上。巴舍利耶的事业随后被一场悲剧性的误会所毁。他继续研究扩散和相关的概率课题，并成为法国索邦大学的教授，然而第一次世界大战爆发后，他参了军。战后，在做了一些临时性的学术工作后，他申请了第戎的一个长期职位。
负责评估申请的莫里斯·热夫雷（Maurice Gevrey）认为自己在巴舍利耶的一篇论文中发现了一个重大错误，专家保罗·莱维（Paul Levy）也对此表示赞同。巴舍利耶的职业生涯毁了。但是他们都误解了他的记法，它并没有错。巴舍利耶为此写了一封义愤填膺的信，但无济于事。最终莱维意识到巴舍利耶一直都没有错，在道歉之后，他们言归于好。然而即便如此，莱维从未对关于股市的应用产生过兴趣。他在笔记本上对这篇论文评论道：“关于金融的内容太多了！”
巴舍利耶利用随机波动对股票期权价值如何随时间变化的分析，最终被数理经济学家和市场研究人员接受。其目的是了解期权（不只是标的商品）交易市场的行为。一个基本的问题是找到合理的方法来给期权定价，也就是说，人人都可以用相同的规则分别给他们关心的东西算出价格。这使得评估特定交易所涉及的风险成为可能，从而激励了市场活动。
02 被高估的布莱克-斯科尔斯定价模型
1973 年，费希尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）在《政治经济学》杂志上发表了《期权与公司债定价》一文。在此前的十年里，他们开发了一个数学公式来确定某一期权的合理价格。用这个公式进行交易的实验并不太成功，于是他们决定将推理过程公之于世。罗伯特·默顿（Robert Merton）对他们的公式进行了数学解释，这个公式后来被称为布莱克–斯科尔斯期权定价模型。它将期权价格的波动与标的商品的风险区分开来，从而形成一种称为德尔塔对冲的交易策略：在某种意义上，反复买卖标的商品，以消除期权带来的风险。
布莱克–斯科尔斯模型是一个偏微分方程，即布莱克–斯科尔斯方程，它与巴舍利耶从布朗运动中提炼出来的扩散方程密切相关。通过数值计算方法，可以求出任意情形下期权的最优价格。能算出一个唯一“合理的”价格（尽管它的基础是一个可能不并适用于现实的特定模型），已经足以说服金融机构使用它，一个巨大的期权市场由此诞生。
布莱克–斯科尔斯方程所使用的数学假设并不完全符合现实。其中一个重要的原因是，蕴含的扩散过程的概率分布是正态的，因此极端事件不太可能发生。实际上，此类事件更常见，这种现象被称为厚尾。有一类被称为稳定分布的概率分布是由 4 个参数构成的，图 13-2 显示了其中的三种，它们的关键参数分别对应一个特定值。当这个参数为 2 时，我们会得到正态分布（灰色曲线），它没有厚尾。另外两个分布（黑色曲线）都有厚尾：在图形两边，黑色曲线在灰色曲线之上。
图 2 两种厚尾分布（黑色）和正态分布（灰色）的比较。这三种都是“稳定分布”，它们涉及一个参数，其值分别为 0.5、1 和 2
用正态分布来模拟那些实际上有厚尾的金融数据，会大大低估极端事件的风险。无论有没有厚尾，与正常情况相比，这些事件都很少见，但厚尾让它们变得常见到足以构成严重问题。当然，极端事件会让你损失一大笔钱。意料之外的冲击，比如突然的政治动荡或某家大公司倒闭，可能会使极端事件发生的可能性比厚尾分布所预示的更大。互联网泡沫和 2008 年金融危机都和这种意料之外的风险有关。
尽管存在这些问题，布莱克–斯科尔斯方程还是因其实用性而被广泛使用：它很容易计算，并且在大多数时候能很好地近似真实市场的情况。亿万富翁、投资家沃伦·巴菲特（Warren Buffett）曾警告：“布莱克–斯科尔斯公式在金融领域已近于神圣……不过，如果将该公式应用在较长的时间段，那么就有可能会导致荒谬的结果。
平心而论，布莱克和斯科尔斯想必是明白这一点的。但他们忠实的追随者们可能忽略了他们俩在最早公开这个公式时所附带的警示说明。”
本文来自微信公众号“巴伦周刊”（ID：barronschina）
